进制转换

所谓进制转换，就是将一种进制的数字转换为另一种进制的数字。数字的表示形式虽然改变了，但是数字的值并没有变。

这里我们讲解两种方法，第一种是简单的口算法，第二种是复杂的公式法。

进制转换口算法

我们来思考一个问题：为什么八进制数 17 对应的十进制数是 15？我们看八进制数 17 中的 7，这个 7 是没有进位的，它同十进制数 7 是一样的，因为它是在个位。而八进制数 17 中的 1，它能进一是因为有 8 才进一的，所以这个 1 代表的就是十进制的 8。所以一个 8 和一个 7 加起来就是 15，这就是为什么八进制数 17 对应的十进制数是 15 的原因。

现在我来考考读者，看读者能不能立刻回答出来。八进制数 23 对应的十进制数是多少？十进制数 34 对应的八进制数是多少？

同样，八进制数 23 中的 3 和十进制数 3 是一样的，而 2 说明进了两次位，有 8 才能进一次，进了两次说明是十进制的 16，所以 16 和 3 加起来就是 19。因此八进制数 23 对应的就是十进制数 19。

十进制数 34 里有 4 个 8，余 2，所以十进制数 34 对应的就是八进制的 42。

我再来问问大家，看大家能不能举一反三：十六进制的 3D 对应的十进制是多少？十进制的 83 对应的十六进制是多少？

方法是相同的，十六进制数 3D 中的 D 表示的是十进制的 13，而十六进制达到 16 才能进一次，数字 3 说明进了 3 次，即 48，13 和 48 加起来就是 61。因此，十六进制数 3D 就对应十进制数 61。同样，十进制 83 中有 5 个 16，余 3，所以十进制数 83 就是十六进制数 53。

如果是八进制和十六进制相互转换的话，因为它们都跟十进制有关系，所以可以将十进制当作一个桥梁，先转换成十进制，然后再转换成另一个进制。

以上的口算方法实际上就是进制转换的本质和奥秘的总结。但是用口算方法只能计算比较小的数字，当数字比较大的时候还是得在纸上算。之所以没有讲如何用口算进行二进制转换，原因就是二进制的计算量很大，不适合口算。介绍口算方法的主要目的是想让大家体会进制转换的本质，从而能够深刻理解下面所讲的公式法。

进制转换公式法

以上讲的是进制转换的本质，下面系统地讲一下进制转换。在阅读本节之前建议大家先掌握上节的内容，这样效率会更高，理解会更深刻。

1) r 进制转换成十进制

r 进制数 a_n a_n–1…a₁ a₀ 对应的十进制数为：

a_n×rⁿ + a_n–1×r^n–1 + … + a₁×r¹ + a₀×r⁰

下面给大家举几个例子：

• （1011011）₂=1×2⁶+0×2⁵+1×2⁴+1×2³+0×2²+1×2¹+1×2⁰=64+0+16+8+0+2+1=91
• （356）₈=3×8²+5×8¹+6×8⁰=192+40+6=238
• （2FB）₁₆=2×16²+15×16¹+11×16⁰=512+240+11=763

2) 十进制转换成 r 进制

方法：除 r 取余数，直至商为零，余数倒序排序。

下面给大家举个例子：十进制 185 分别转换成二进制、八进制和十六进制。


所以（185）₁₀=（10111001）₂。


所以（185）₁₀=（271）₈。


（185）₁₀=（B9）₁₆。

3) 进制之间的转换

上面讲了十进制和r进制之间的相互转换。可以说十进制是任意进制间相互转换的桥梁，任何进制都可以先转换成十进制，然后再转换成需要的进制。

但二进制和八进制、二进制和十六进制之间的相互转换可以直接计算。二进制的运算首先要记住窍门：8421。（1111）₂=1×2³+1×2²+1×2¹+1×2⁰=8+4+2+1，即二进制数 1111 从左到右每一位分别代表十进制的 8、4、2、1。

① 二进制转换为八进制

将二进制数从右到左，每三位组成一组，最左边不足三位的补零。然后对每组分别运用 8421 法则快速运算。如果二进制是 1 则保留，如果是 0 则舍去。比如：

• （1111）₂=8+4+2+1=15
• （1010）₂=8+0+2+0=10
• （1100）₂=8+4+0+0=12
• （0101）₂=0+4+0+1=5

所有的二进制转其他进制的运算都要记住这个法则。如果是二进制转十进制，且二进制数多于四位，那么其他位依次为 16、32、64、128……

只不过二进制转八进制时，因为是每三位为一组，所以就不存在第四位，这样 8 就都为 0 了，所以其实是 421 法则，但统一记为“8421”更顺口。

【练习】（11001011）₂=（？）₈

首先，从右到左分成三组，最左边不足三位的补零，即 011001011。然后对每组分别运用“8421”快速运算即 313。所以（11001011）₂=（313）₈。

② 二进制转换为十六进制

将二进制数从右到左，每四位组成一组，最左边不足四位的补零。然后对每组分别运用“8421”法则快速运算。

【练习】（1011001011）₂=（？）₁₆

首先，从右到左分成四组，最左边不足四位的补零，即 001011001011。然后对每组分别运用“8421”法则快速运算即 2 C B。所以（11001011）₂=（2CB）₁₆。

③ 八进制转换为二进制

对于每一位八进制数，分别运用“8421”法则快速运算，逐位展开成三位二进制数，不足三位的补零，最后最左边的零可省略。

【练习】（3754）₈=（？）₂

（3）₈=（011）₂，（7）₈=（111）₂，（5）₈=（101）₂，（4）₈=（100）₂，所以（3754）₈=（11111101100）₂。

④ 十六进制转换为二进制

对于每一位十六进制数，分别运用“8421”法则快速运算，逐位展开成四位二进制数，不足四位的补零，最后最左边的零可省略。

【练习】（4B39F）₁₆=（？）₂

（4）₁₆=（0100）₂，（B）₁₆=（1011）₂，（3）₁₆=（0011）₂，（9）₁₆=（1001）₂，（F）₁₆=（1111）₂，所以（4B39F）₁₆=（1001011001110011111）₂。

最后还有一个“小数部分的进制转换”，这个几乎用不到，所以就不讲了，要是以后用到了再看也不迟。

接下来给大家写一个程序。这个程序的功能是将同一个十进制数以不同的进制显示出来。这个程序大家暂时还看不懂，没关系，等学到后面再来看这个程序就很简单了。

#include <stdio.h>
int main(void){
    int i = 63;
    printf("i = %d\n", i);
    printf("i = %o\n", i);
    printf("i = %x\n", i);
    printf("i = %X\n", i);
    return 0;
}

运行结果：
i = 63
i = 77
i = 3f
i = 3F

其中：%d表示以十进制输出；%o表示以八进制输出，注意是字母 o 不是数字 0，而且一定是小写字母。这与前面讲的八进制数是数字 0 而不是字母 o 正好是相反的，千万不要弄混了。

%x和%X表示以十六进制输出。那么它们有什么区别呢？如果是 %x 那么字母就是以小写的形式输出，如果是 %X 那么字母就是以大写的形式输出。这也是八进制中只有 %o 没有 %O 的原因，因为八进制中根本没有字母，所以不需要区分大小写。