补码及进制转换

有符号二进制整数有正数和负数。在 x86 处理器中，MSB 表示的是符号位：0 表示正数，1 表示负数。下图展示了 8 位的正数和负数：

补码表示

负整数用补码（two`s-complement）表示时，使用的数学原理是：一个整数的补码是其加法逆元。（如果将一个数与其加法逆元相加，结果为 0。）

补码表示法对处理器设计者来说很有用，因为有了它就不需要用两套独立的电路来处理加法和减法。例如，如果表达式为 A-B，则处理器就可以很方便地将其转换为加法表达式：A+(-B)。

将一个二进制整数按位取反（求补）再加 1，就形成了它的补码。以 8 位二进制数 0000 0001 为例，求其补码为 1111 1111，过程如下所示：

初始值	00000001
第一步：按位取反	11111110
第二步：将上一步得到的结果加 1	11111110 +00000001
和值：补码表示	11111111

1111 1111 是 -1 的补码。补码操作是可逆的，因此，11111111 的补码就是 0000 0001。

十六进制数的补码

将一个十六进制整数按位取反并加 1，就生成了它的补码。一个简单的十六进制数字取反方法就是用 15 减去该数字。下面是一些十六进制数求补码的例子：

6A3D --> 95C2 + 1 --> 95C3
95C3 --> 6A3C + 1 --> 6A3D

有符号二进制数到十进制的转换

用下面的算法计算一个有符号二进制整数的十进制数值：

• 如果最高位是 1，则该数是补码。再次对其求补，得到其正数值。然后把这个数值看作是一个无符号二进制整数，并求它的十进制数值。
• 如果最高位是 0，就将其视为无符号二进制整数，并转换为十进制数。

例如，有符号二进制数 1111 0000 的最高有效位是 1，这意味着它是一个负数，首先要求它的补码，然后再将结果转换为十进制。过程如下所示：

初始值	11110000
第一步：按位取反	00001111
第二步：将上一步得到的结果加 1	00001111 +               1
第三步：生成补码	00010000
第四步：转换为十进制	16

由于初始值（1111 0000）是负数，因此其十进制数值为 -16。

有符号十进制数到二进制的转换

有符号十进制整数转换为二进制的步骤如下：

• 把十进制整数的绝对值转换为二进制数。
• 如果初始十进制数是负数，则在第 1 步的基础上，求该二进制数的补码。

比如，十进制数 -43 转换为二进制的过程为：

1) 无符号数 43 的二进制表示为 0010 1011。

2) 由于初始数值是负数，因此，求出 0010 1011 的补码 1101 0101 这就是十进制数 -43 的二进制表示。

有符号十进制数到十六进制的转换

有符号十进制整数转换为十六进制的步骤如下：

• 把十进制整数的绝对值转换为十六进制数。
• 如果初始十进制数是负数，则在第 1 步的基础上，求该十六进制数的补码。

有符号十六进制数到十进制的转换

有符号十六进制整数转换为十进制的步骤如下：

• 如果十六进制整数是负数，求其补码，否则保持该数不变。
• 把第 1 步得到的整数转换为十进制。如果初始值是负数，则在该十进制整数的前面加负号。

通过检查十六进制数的最高有效（最高）位，就可以知道该数是正数还是负数。如果最高位 ≥ 8，该数是负数；如果最高位 ≤ 7，该数是正数。比如，十六进制数 8A20 是负数，而 7FD9 是正数。

最大值和最小值

n 位有符号整数只用 n-1 来表示该数的范围。下表列出了有符号单字节、字、双字、四字和八字的最大值与最小值。

类型	范围	存储位数	类型	范围	存储位数
有符号字节	-27 到 +27-1	8	有符号四字	-263 到 +263-1	64
有符号字	-215 到 +215-1	16	有符号八字	-2127 到 +2127-1	128
有符号双字	-231 到 +231-1	32